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Datenbasierte Zeitschrittschätzung

Datenbasierte Zeitschrittschätzer für explizite Zeitintegrationsverfahren

Forschungsprojekt

Entwicklung und Implementierung datenbasierter Methoden zur genauen Schätzung des kritischen Zeitschritts für zeitexplizite Finite-Elemente-Simulationen

Überblick

Kombination von klassischen numerischen Methoden mit maschinellem Lernen für erhöhte numerische Effizienz und Genauigkeit
Untersuchung verschiedener Methoden des maschinellen Lernens zur genauen Schätzung des kritischen Zeitschritts für explizite Zeitintegrationsverfahren
Erweiterung der datenbasierten Zeitschrittschätzung auf komplexe finite Elemente und nichtlineare Simulationen durch innovative Samplingstrategien und Berücksichtigung zusätzlicher Einflussgrößen

Projektbeschreibung

Hintergrund

Explizite Zeitintegrationsverfahren sind essenziell für die Simulation dynamischer Systeme, etwa in der Strukturmechanik. Die Wahl des Zeitschritts beeinflusst maßgeblich die Stabilität, Genauigkeit und Rechenzeit der Simulation. Klassische Ansätze dafür basieren oft auf einfachen heuristischen oder analytischen Abschätzungen. Erste Untersuchungen zeigen, dass diese für viele Elementkonfigurationen weder genau noch konservativ sind. Dies kann zu ineffizienten oder instabilen Simulationen führen.

Zielsetzung

Ziel des Projekts ist die Entwicklung datenbasierter Zeitschrittschätzer, die durch Algorithmen aus dem Bereich des maschinellen Lernens den kritischen Zeitschritt von expliziten Finite-Elemente-Simulationen genau und konservativ abschätzen. Dadurch kann Rechenzeit eingespart, die Stabilität der Simulation gewährleistet und die Genauigkeit der Ergebnisse verbessert werden.

Anhand von vierknotigen Scheibenelementen konnte das große Potenzial dieses Ansatzes in Willmann et al. (2025): Data‐Based Estimation of Critical Time Steps for Explicit Time Integration gezeigt werden.

Methodik

Generierung von Daten

Alle möglichen Elementkonfigurationen können so in einen Parameterraum transformiert werden, dass Größen, die keinen Einfluss auf den kritischen Zeitschritt haben oder deren Einfluss einfach zu berechnen ist, eliminiert werden. Die Elemente werden dafür rotiert, verschoben und skaliert. Auf diese Weise entstehen 20 Mio. Elementkonfigurationen, die alle möglichen Elementformen repräsentieren, siehe Abb. 1. Für alle Konfigurationen wird das Eigenwertproblem gelöst und damit der dimensionslose kritische Zeitschritt als Referenzlösung berechnet.

Abb. 1: Viele verschiedene Elementkonfigurationen.

Evaluation von Zeitschrittschätzern und optimale Sicherheitsfunktionen

Eine Hälfte des Datensatzes wird genutzt, um Zeitschrittschätzer aus der Literatur und aus kommerzieller Software auszuwerten, indem der geschätzte mit dem exakten kritischen Zeitschritt verglichen wird. Dabei wird ersichtlich, wie genau diese Schätzer sind und wie häufig sie nicht-konservative Ergebnisse liefern. Die Ergebnisse erlauben zudem die Ableitung optimaler Sicherheitsfunktionen für die verschiedenen Schätzer, die sicherstellen, dass alle Schätzungen konservativ und zugleich möglichst genau sind.

Neue, datenbasierte Zeitschrittschätzer

Mit der zweiten Hälfte des Datensatzes können verschieden Ansätze des maschinellen Lernens trainiert werden, um den kritischen Zeitschritt für beliebige Elementkonfigurationen abzuschätzen. Ein neuer Schätzer basierend auf einem neuronalen Netz, siehe Abb. 2, zeigt hierbei eine deutlich höhere Genauigkeit als alle bestehenden Ansätze, siehe Abb. 3. Des Weiteren ist auch eine Anpassung der datenbasierten Schätzer auf konkrete Simulationen möglich, um deren Genauigkeit weiter zu steigern.

Abb. 2: Neuronales Netz zur genauen Vorhersage des kritischen Zeitschritts basierend auf allen möglichen Elementkonfigurationen (schematische Darstellung).

Abb. 3: Vergleich verschiedener Schätzer (alle optimal konservativ)

Zentrale Fragestellungen

Das Projekt konzentriert sich auf drei zentrale Forschungsfragen, die für die Entwicklung robuster, datenbasierter Zeitschrittschätzer entscheidend sind:

Innovative Samplingstrategien und Erweiterung auf komplexe finite Elemente

Wie lässt sich die datenbasierte Zeitschrittschätzung auf komplexere finite Elemente, z. B. Volumen- oder Schalenelemente, übertragen? Hierfür werden innovative Samplingstrategien untersucht, die die Vielfalt möglicher Elementkonfigurationen möglichst effizient abdecken sollen. Ziel ist es, die datenbasierte Zeitschrittschätzung für praxisrelevante und geometrisch anspruchsvollere Elemente anwendbar zu machen.

Methoden des maschinellen Lernens zur Zeitschrittschätzung

Welche Verfahren des maschinellen Lernens – jenseits klassischer neuronaler Netze – eignen sich besonders für die Zeitschrittschätzung? Im Fokus stehen dabei Generalisierbarkeit, Robustheit und effiziente Echtzeit-Auswertung. Es werden Ansätze wie nichtlineare Regression, neuronale Netze oder symbolische Regression evaluiert, um die Vorhersagequalität zu maximieren, den Rechenaufwand zu minimieren, und eine Interpretierbarkeit der Schätzung zu ermöglichen.

Berücksichtigung zusätzlicher Einflussgrößen auf Systemebene

Welche Parameter – insbesondere bei nichtlinearen Simulationen – müssen in die Schätzung einbezogen werden, um den kritischen Zeitschritt auf Systemebene präzise zu bestimmen? Hier wird untersucht, wie geometrische Nichtlinearitäten, aktuelle Deformationszustände oder Materialparameter effizient integriert werden können. Ziel ist eine konservative und genaue Schätzung, die auch bei unstrukturierten Netzen und großen Deformationen zuverlässig funktioniert.

Veröffentlichungen

Willmann, T. (2025). 3D-shell element technology, nonlinear poisson stiffening and data-integrated time step estimation [Doktorarbeit, Bericht Nr. 80. Institut für Baustatik und Baudynamik der Universität Stuttgart]. https://doi.org/10.18419/opus-16843
- Zusammenfassung
Zusammenfassung
This thesis deals with three aspects of the finite element method: the development of three-dimensional shell elements, the explanation of a previously largely unknown stiffening effect, and a data-integrated approach for estimating the critical time step size in simulations with explicit time integration. A family of three-dimensional finite shell elements is developed by describing the velocity field as a polynomial in the out-of-plane coordinate while discretizing the shell plane with bilinear Lagrange polynomials. The elements use reduced integration in combination with an hourglass control. Numerical examples show that the developed shell elements with a quadratic or cubic velocity field in the out-of-plane coordinate yield more accurate results compared to elements with linear velocity field or elements based on the Reissner-Mindlin shell model. The thesis furthermore investigates and explains the nonlinear Poisson stiffening effect, a previously largely unknown stiffening effect. This effect is a nonlinear variant of Poisson thickness locking. Its causes and symptoms as well as mitigation strategies are discussed. Additionally, its relevance is demonstrated with a series of numerical examples. For explicit dynamic simulations, the thesis introduces a data-integrated approach to estimate the critical time step size. A time step estimator based on a neural network is developed for quadrilateral two-dimensional solid elements and shell elements with a linear velocity field in the out-of-plane coordinate. An update algorithm enhances computational efficiency, making this time step estimation method applicable in practical simulations.
Willmann, T., Schilling, M., & Bischoff, M. (2025). Data-Based Estimation of Critical Time Steps for Explicit Time Integration. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 126, Article 4. https://doi.org/10.1002/nme.7666
- Zusammenfassung
Zusammenfassung
Finding the critical time step for conditionally stable time integration methods has been a decades-long problem. The apparently obvious option of directly computing it from a generalized eigenvalue analysis, identifying the largest eigenfrequency of the discrete system, is usually impractical because of its numerical expense and because a stiffness matrix is often unavailable in the context of explicit analysis. There exist two popular approaches to efficiently estimate the critical time step: A characteristic element length can be estimated based on heuristic formulas. The resulting estimate, however, cannot be guaranteed to be conservative. Another approach is to reformulate and simplify the underlying eigenvalue problem on the element level and to use certain inequalities to derive an upper bound for the largest eigenvalue. This is conservative but may show poor performance by significantly under-predicting the actual critical time step. Moreover, the necessary simplifications are usually specific to the investigated element formulation. Many works that develop time step estimators demonstrate their performance only for particular element configurations, making it difficult to compare the estimators. In this paper, data-driven approaches for time step estimation for 2d-elements that address several of the aforementioned problems are proposed. First, the set of all possible quadrilateral element geometries and its discrete representation are described. A detailed comparison of nine existing time step estimators based on more than ten million element configurations is presented. Additionally, the concept of an optimal safety factor function is introduced. This concept allows us to generate the optimal and conservative version of an existing estimator and thus solves two problems at the same time: It can be used to make non-conservative estimators conservative and to improve the performance of estimators that are conservative by construction. Finally, we formulate time step estimation as a function approximation problem. It allows us to derive customizable time step estimators solely based on data. Through two examples, we demonstrate that this data-driven approach yields time step estimators that outperform state-of-the-art estimators in terms of accuracy while also being efficient to evaluate.

Bearbeitung:

Datenbasierte Zeitschrittschätzer für explizite Zeitintegrationsverfahren

Überblick