Forschungsprojekt

Hochentwickelte Tetraeder

Hochentwickelte finite Tetraederelemente auf Basis variationeller Formulierung von Verzerrungs- und Trägheitsskalierung.

Tetraederelement (c)
Tetraederelement, wie es zur freien Vernetzung komplexer Geometrien eingesetzt wird.

Überblick:

  • Variationelle Trägheitsskalierung für Tetraederelementen mit Allman-Rotationen
  • Variationelle Trägheitsskalierung für Komposit-Tetraederelemente
  • Variationelle Verzerrungsskalierung für Komposit-Tetraederelemente und Tetraederelemente mit Allman-Rotationen
  • Reduzierung numerischer Dispersion und des Reflektions-Transmissions-Fehlers

Projektbeschreibung

Gegenstand des Forschungsprojekts ist die Entwicklung variationeller Methoden für die selektive Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen für die explizite dynamische Finite-Elemente-Analyse. Mit diesen Methoden lassen sich dann effizientere und genauere Tetraederelemente für die nichtlineare Dynamik und für Wellenausbreitungsprobleme entwickeln.

Tetraeder- vs. Hexaeder-Elemente

Für komplexe Geometrien ist bei der Vernetzung mit finiten Elementen eine Verwendung von dreieckigen Elementen häufig unvermeidbar. Bereits eine sehr stark vereinfachte Geometrie eines Werkzeugsschlüssels wie in Abbildung 1 dargestellt, lässt sich nur mit Tetraeder-Elementen automatische vernetzen. Bestehende Tetraeder-Elemente sind in ihrer Leistungsfähigkeit jedoch durch die folgenden Aspekte eingeschränkt: Versteifung („Locking“), hoher Rechenaufwand, hohe numerische Dispersion und großer Reflektions-Transmissions-Fehler bei heterogenen Materialien. Bisher gibt es kein universelles Tetraederelement, das in allen zuvor benannten Bereichen überzeugt. Am Beispiel des vereinfachten Modells des Werkzeugschlüssels sieht man, dass bei vorgegebener Elementkantenlänge 6x mehr Freiheitsgerade benötigt werden, was zu einem höheren Rechenaufwand führt. Dieser wird durch den um den Faktor 1.7 kleineren kritischen Zeitschritt zusätzlich vergrößert. Trotz des größeren Rechenaufwandes ist die Verschiebungslösung für die Tetraederelemente deutlich zu konservativ aufgrund von künstlichen Versteifungseffekten.

viereckige vs. dreieckige finite Elemente (c)
Vergleich von vier- und dreieckigen finiten Elementen bezüglich Effizienz und Genauigkeit

Der Fokus dieses Forschungsprojektes liegt auf der Bekämpfung von Versteifungseffekten und der Reduktion des Rechenaufwandes, da diese Probleme in der nichtlinearen Strukturdynamik besonders in den Vordergrund treten.  Hierzu hier die variationelle Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen erforscht und auf gängige Tetraeder-Elemente übertragen.

Trägheitsskalierung

In Vorarbeiten wurde gezeigt, dass durch die variationelle Trägheitsskalierung eine deutliche Vergrößerung des kritischen Zeitschritts erreicht werden kann. Dabei wurden sowohl variationell skalierte Massenmatrizen, wie auch reziproke Massenmatrizen vorgeschlagen. Wohingegen die variationell skalieren Massenmatrizen nicht diagonal sind und somit die Lösung eines linearen Gleichungssystems in jedem Zeitschritt erfordern, erlauben die reziproken Massenmatrizen eine triviale Lösung. Jeder Zeitschritt ist damit ähnlich teuer wie für die gewöhnlich verwendete diagonalisierte Massenmatrix, allerdings kann der Zeitschritt ca. um den Faktor 2 vergrößert werden.
Eine Anwendung dieser Trägheitsskalierung auf numerisch aufwendige, aber genaue Elementformulierungen wie Elemente mit Allman-Rotationen und Komposit-Elemente führt dann auf genaue, wie auch effiziente Tetraeder-Elemente, die eine ähnlich gute Performance wie Hexaederelemente zeigen.

Die folgende Abbildung zeigt die Analyse eines Kragarms unter einer abrupt aufgebrachten konstanten Last F. Die Anwendung der Trägheitsskalierung auf das vierknotige Tetraederelement mit Allman-Rotationen erlaubt eine Reduktion des Rechenaufwands um 53%. Im Ergebnis für die Auslenkung kann dabei trotzdem kein Unterschied zur Lösung mit konsistenter oder diagonalisierter Masse festgestellt werden.

Trägheitsskalierung Tetraederelement Allman-Rotationen (c)
Trägheitsskalierung für ein Tetraederelement mit Allman-Rotationen (TET4R)

Verzerrungsskalierung

Für Elemente, die zwar effizient sind (oder deren Effizienz durch Trägheitsskalierung verbessert wurde), aber Versteifungseffekte aufweisen, kann eine variationell konsistente Verzerrungsskalierung angewendet werden.  Für Wellenausbreitungsprobleme kann durch gezielte Anpassung der Verzerrungsskalierung zum Beispiel ein optimiertes Dispersionsverhalten für Tetraeder-Elemente höherer Ordnung erzielt werden.

Heterogene Materialien

In Vorarbeiten wurde beobachtet, dass mit den variationell skalierten reziproken Massen zwar sehr gute Ergebnisse für homogene Materialien erzielt werden können, für heterogene Materialien wurden allerdings nur unzufriedenstellende Ergebnisse erreicht. Eine verbesserte Konstruktion der biorthogonalen Ansatzräume der Mehrfeldformulierung hat zu deutlich verbesserten Konvergenzeigenschaften geführt, siehe folgende Abbildung. Die Analyse des Reflektions-Transmissions-Fehlers bestätigt dieses Ergebnis.

Konvergenz (c)
Verbessertes Konvergenzverhalten für einen aus zwei Materialien modellierten Stab

Schablonen basierend auf variationell parametrisierten Prinzipen

Variationelle Trägheitskalierung und Verzerrungskalierung lassen sich als Schablonen baierend auf variationell parameterisierten Prinzipien entwickeln. Die Idee von Massen- und Steifigkeitsschablonen wurde im Jahr 1994 von Prof. Carlos Felippa aus der Colorado University in Boulder vorgeschlagen.  Die auf variationell parameterisierten Prinzipien basierenden Schablonen ermöglichen eine allgemeine Konstruktion von parameterisierten gemischten variationellen Prinzipen. Durch die Wahl der freien Parameter und der Ansatzräume der unabhängigen Variablen werden Familien neuer Finiter-Elemente definiert, die verbesserte Eigenschaften aufweisen.

Projektdaten

Projekttitel:
Methoden zur selektiven Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen für die explizite Dynamik mit tetraederförmigen finiten Elementen
Förderung:
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), Sachbeihilfe - Eigene Stelle TK 63/1-1, GEPRIS-Projektnummer 326748051
 

Kooperation

Bearbeitung:

Dieses Bild zeigt Tkachuk
Dr.-Ing.

Anton Tkachuk

Postdoc

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