Forschungsprojekt

Kontakt-Modellierung

Effiziente Algorithmen mit dualen Lagrange-Multiplikatoren für dreidimensionale, dynamische Kontaktprobleme.

Kontaktspannungsverlauf
Kontaktspannungsverlauf

Überblick

  • Mortar-basierte Kontaktformulierung
  • Duale Ansätze für die Lagrange-Multiplikatoren
  • Stabile Zeitintegrationsverfahren für Kontaktprobleme
  • Kontakt zwischen dünnwandigen Strukturen mit oberflächenorientierten Schalenelementen
  • Dreidimensionale Mortar-basierte Kontaktprobleme
  • Kontaktsuche

Projektbeschreibung

Mortar-basierte Kontaktformulierung

Die meisten in der Vergangenheit entwickelten Kontaktformulierungen basieren auf sogenannten Knoten-Segment Diskretisierungen (NTS), bei welchen die Kontaktbedingungen an diskreten Kontaktknoten erzwungen werden. Diese Formulierung ist relativ einfach zu implementieren, zeigt aber in bestimmten Fällen ein übersteifes Verhalten ("Locking") und kann im Allgemeinen die Kontaktspannungen nur grob approximieren. Die Mortar-Methode, ursprünglich eine Methode zur Kopplung nicht konformer Diskretisierungen, erfüllt die Nichtdurchdringungsbedingung in einem integralen Sinn und verhindert so ein übersteifes Verhalten. Die verbesserte Kopplung der kontaktierenden Körper führt außerdem zu verbesserten Kontaktspannungen. Insgesamt ist die Mortar-Methode deutlich robuster als herkömmliche Formulierungen.

Kontaktspannungsverlauf elastisch
Simulation Kontakt zwischen zwei elastischen Halbringen; Kontaktspannungsverlauf dargestellt

Basierend auf der klassischen Lagrange-Multiplikator Methode, verwendet die Mortar-Methode zusätzliche Unbekannte, die Lagrange-Multiplikatoren, um die Kontaktkopplungsbedingungen zu formulieren. Das ursprüngliche Gleichungssystem vergrößert sich dadurch um die Anzahl der unbekannten Lagrange-Multiplikatoren. Werden nun diese zusätzlichen Unbekannten mit der Penalty-Methode über die Verschiebungen ausgedrückt, verschwindet zwar der Nachteil des vergrößerten Gleichungssystems, die Durchdringung der kontaktierenden Körper wird aber unphysikalisch und benutzerabhängig. Werden für die Diskretisierung der Lagrange-Multiplikatoren aber duale Formfunktionen gewählt, ist eine einfache Kondensation der zusätzlichen Unbekannten möglich. Das resultierende Gleichungssystem ist von konstanter Größe und wird nur für die unbekannten Verschiebungen gelöst. Die Berechnung der Kontaktkräfte erfolgt in einem Post-Prozess Schritt.

Kontakt gestapelten Biegebalken
Simulation Kontakt zwischen zwei gestapelten Biegebalken; Kontaktspannungsverlauf dargestellt
Kontaktpatchtest
Spannungsverlauf Kontaktpatchtest

Modifizierte Definition der dualen Formfunktionen

Abhängig davon, welcher der kontaktierenden Körper zur Diskretisierung der Lagrange-Multiplikatoren verwendet wird ("Slave"-Körper), kann es am Rand des Kontaktbereichs zu einer Inkonsistenz kommen. Diese verhindert eine konsistente Berechnung des Abstandes zwischen den Körpern und eine konsistente Übertragung der Kontaktkräfte. Zur Vermeidung der Inkonsistenz wurde am Institut eine modifizierte Definition der dualen Formfunktionen entwickelt und mit einer geeigneten Wichtungsprozedur kombiniert. Damit ist beispielsweise der Kontaktpatchtest (siehe Bild rechts) unabhängig von der Wahl der "Slave"-Seite erfüllt.

Stabile Modellierung von dynamischen Kontaktproblemen

Bei der Modellierung von dynamischen Kontaktproblemen entstehen zusätzliche Herausforderungen aufgrund der zeitlichen Diskretisierung. In der nichtlinearen Strukturdynamik werden hierzu meistens Zeitintegrationsverfahren verwendet, die auf den klassischen Newmark Ansätzen basieren. Für glatte Probleme können diese Verfahren durch algorithmische oder erzwungene Energieerhaltung beziehungsweise durch kontrollierten Energieverlust aufgrund numerischer Dämpfung Stabilität gewährleisen. Angewendet auf Kontaktprobleme können diese ursprünglich stabilen Algorithmen durch einen künstlichen Energiezuwachs aufgrund der Kontaktbedingungen allerdings instabil werden. Aber auch stabile Lösungen können Oszillationen im Trägheitsterm und daraus folgend in den Kontaktkräften aufweisen, was zu einer Verfälschung des Strukturverhaltens führt. Ziel der Arbeit am Institut ist die Erforschung und Weiterentwicklung von Zeitintegrationsalgorithmen, welche künstliche Oszillationen vermeiden und gleichzeitig die Systemenergie möglichst wenig verändern.

Modellierung dünnwandiger Strukturen unter großen Deformationen

In diesem Projektabschnitt wird die duale Mortar-Methode auf Kontaktprobleme zwischen dünnwandigen Strukturen unter großen Deformationen angewendet. Die Modellierung der dünnwandigen Strukturen erfolgt dabei mit oberflächenorientierten Schalenelementen, was den Vorteil hat, dass die Kontaktrandbedingungen direkt auf den Oberflächen formuliert werden können und keine Projektion notwendig ist. Für die zeitliche Diskretisierung dynamischer Vorgänge werden die "Generalized-α" Methode und die "Generalized-Energy-Momentum-Method" verwendet und mit geeigneten Verfahren zur stabilen Kontaktmodellierung kombiniert. Gegenstand der aktuellen Arbeit ist die Erweiterung der Methode auf reibungsbehafteten Kontakt und die Anwendung auf dreidimensionalen Mehrkörperkontakt.

elastisches Rohr
Simulation eines elastischen Rohrs deformiert durch eine starre Platte

Dreidimensionale Mortar-basierte Kontaktprobleme

Die Kontaktränder zweidimensionaler Kontaktprobleme sind bei bilinearer Diskretisierung der Geometrie abschnittsweise gerade Linien. Im Dreidimensionalen sind die Kontaktränder keine Linien mehr sondern Flächen, die im Allgemeinen gekrümmt sind, auch wenn die Körper mit achtknotigen trilinearen Hexaeder-Elementen diskretisiert werden. Die zur Auswertung der Kontaktanteile der Finiten-Elemente-Formulierung notwendige Integration über die Kontaktoberfläche wird daher meist approximiert als Integration über stückweise ebene Flächen. Ein weiterer großer Unterschied zur zweidimensionalen Formulierung ist die Abhängigkeit der dualen Formfunktionen von der Geometrie der Oberflächenelemente.

Ironing-Problem 3D
Dreidimensionales Ironing-Problem mit rotierendem Eindringkörper

Kontaktsuche

Um zu überprüfen, welche Bereiche der modellierten Körper miteinander in Kontakt stehen, wird der Abstand zwischen ihren Rändern berechnet. Da diese Berechnung sehr rechenaufwendig ist, wird versucht mithilfe eines Kontaktsuchalgorithmus bereits im Voraus zu ermitteln welche Randgebiete nahe beieinander liegen, und für die sich daher die genaue Berechnung des Abstandes lohnt. Eine effiziente Möglichkeit zur Beurteilung der relativen Lage der Körper untereinander stellt die Untersuchung hierarchisch angeordneter umschreibender Volumen dar (siehe Video unten). Bei dieser Methode werden einfach zu beschreibende Volumen um die Kontaktränder und ihre Teilregionen gelegt. Durch die einfache Beschreibung der Volumen, können Überlappungen ohne hohen Rechenaufwand bestimmt werden. Die begrenzenden Volumen werden in einer Binärbaumstruktur gespeichert. Dadurch ist es möglich effizient zu prüfen welche Teilregion eines Kontaktrandes mit welcher Teilregion eines anderen Kontaktrandes überlappt und wo daher eine Abstandsberechnung lohnenswert sein könnte.

Kontaktsuche Ablauf
Ablauf der Kontaktsuche mit umschreibenden Volumen

Projektdaten

Projekttitel:
Effiziente Algorithmen mit dualen Lagrange-Multiplikatoren für dreidimensionale, dynamische Kontaktprobleme
Förderung:

Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), Sachbeihilfe BI 722/7-1, GEPRIS-Projektnummer 168822784
Bearbeitung:
Thomas Cichosz, Christoph Wilking

Veröffentlichungen

  1. Wilking, C. (2017). Effiziente Integration und verbesserte Kontaktspannungen für duale Mortar-Formulierungen. Doktorarbeit, Bericht Nr. 66, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart. https://doi.org/10.18419/opus-9244
  2. Wilking, C., & Bischoff, M. (2017). Alternative integration algorithms for three-dimensional mortar contact. Computational Mechanics, 59, 203–218. https://doi.org/10.1007/s00466-016-1345-4
  3. Tkachuk, A., Wohlmuth, B., & Bischoff, M. (2013). Hybrid-mixed discretization of elasto-dynamic contact problems using consistent singular mass matrices. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 94, 473–493. https://doi.org/10.1002/nme.4457
  4. Mangold, O., Prohl, R., Tkachuk, A., & Trickov, V. (2012). Reduction of Numerical Sensitivities in Crash Simulations on HPC-Computers (HPC-10). Wolfgang E. Nagel, Dietmar B. Kröner, Michael M. Resch, (Eds.): High Performance Computing in Science and Engineering ’11. Transactions of the High Performance Computing Center Stuttgart. Springer, 631–636. https://doi.org/10.1007/978-3-642-23869-7_46
  5. Cichosz, T. (2012). Stabile und konsistente Kontaktmodellierung in Raum und Zeit. Doktorarbeit, Bericht Nr. 58, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart. https://doi.org/10.18419/opus-495
  6. Tkachuk, A., & Bischoff, M. (2011). Buckling under Contact Constraints as a Source of Scatter in Car Crash Simulations. II International Conference on Computational Contact Mechanics 15-17 June 2011, Hannover, Germany.
  7. Cichosz, T., & Bischoff, M. (2011). Consistent treatment of boundaries with mortar contact formulations using dual Lagrange multipliers. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 200, 1317–1332. https://doi.org/10.1016/j.cma.2010.11.004
  8. Tkachuk, A. (2010). A contact-stabilized Newmark method for coupled dynamical thermo-elastic problem. 3rd International Conference on Nonlinear Dynamic, September 21-24, 2010, Kharkov, Ukraine.
  9. Hartmann, S., & Ramm, E. (2008). A mortar based contact formulation for non-linear dynamics using dual Lagrange multipliers. Finite Elements in Analysis and Design, 44, 245–258. https://doi.org/10.1016/j.finel.2007.11.018
  10. Hartmann, S. (2007). Kontaktanalyse dünnwandiger Strukturen bei großen Deformationen. Doktorarbeit, Bericht Nr. 49, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart. https://doi.org/10.18419/opus-263
  11. Hartmann, S., Brunssen, S., Wohlmuth, B., & Ramm, E. (2007). Unilateral non-linear dynamic contact of thin-walled structures using a primal-dual active set strategy. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 70, 883–912. https://doi.org/10.1002/nme.1894

Kontakt:

Dieses Bild zeigt  Bastian Oesterle
Dr.-Ing.

Bastian Oesterle

Postdoc

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