Forschungsprojekt

Finite Elemente und nichtlineare Felder

Entwicklung und Anwendung finiter Elemente für Probleme mit nichtlinearen Feldern.

Überblick

  • Entwicklung finiter Elmente für Problemstellungen, die Felder in nichtlinearen Mannigfaltigkeiten benötigen
  • Behebung von Problemen in bisherigen Formulierungen
  • Entwicklung neuer Formulierungen um Problemstellungen konsistent zu beschreiben und zu lösen

Projektbeschreibung

Häufig tauchen sowohl in der Strukturmechanik als auch in der Materialtheorie Größen auf, die in nichtlinearen Mannigfaltigkeiten definiert sind. In der Strukturmechanik sind dies beispielsweise nichtlineare Reissner-Mindlin-Schalenmodelle, die einen Direktor mit Einheitslänge haben oder nichtlineare Cosserat-Balkentheorien, für die der Balkenquerschnitt mit Hilfe einer Rotationsmatrix aus SO(3) beschrieben wird. Ein Beispiel aus der Materialtheorie ist inkompressibles Materialverhalten, für das der Deformationsgradient eine konstante Determinante von 1 hat. Ein weiteres Beispiel hierfür ist die Beschreibung von magnetischem Material, das die Einführung eines Einheitsdirektors benötigt, um die Orientierung der Magnetisierung zu beschreiben.

Herausforderungen

Für all diese Beispiele führt die Anwendung von Standardverfahren aus der Finite-Elemente-Technologie zu verschiedenen unerwünschten Symptomen, da viele dieser Verfahren nur für Vektorräume funktionieren. Ihre direkte Anwendung auf nichtlineare Mannigfaltigkeiten führt auf Probleme wie Verlust der Objektivität, artifizielle Pfadabhängigkeit und sogar Divergenz der Lösungsalgorithmen. Diese Probleme lassen sich sowohl auf eine fehlerbehafte Interpolation und Linearisierung als auch den nichtlinearen Zusammenhang zwischen den Knotengrößen und ihrer Updategröße, welche im Tangentialraum liegt, zurückführen. Die Identifikation und Behebung dieser Probleme ist unter anderem Gegenstand dieses Projekts.

Simulationsbesipiele

Iterationsverlauf für die Suche des Minimums der Magnetisierungseinheitsvektoren ausgehend von einer zufälligen Orientierung und dem zusätzlichen Fixieren der linken und unteren Kante:

FENL_Magnetisierung (c)
Simulationsbeispiel Magnetisierung

Simulation von Schalenbeulen mit nichtlinearen Reissner-Mindlin-Schalenelementen mit Einheitsdirektoren. Die obere Kante wird nach rechts bewegt und die Schale beult aus der Ebene. Nach Experimenten von Wong YW and Pellegrino S (2006) Wrinkled membranes part I: experiments. Es handelt sich um eine statische Simulation unter Zuhilfenahme eines Riemannschen Trust-Region-Verfahrens:

 (c)
Simulationsbeispiel Schalenbeulen

Bearbeitung:

Alexander Müller
M.Sc.

Alexander Müller

Akademischer Mitarbeiter

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