Forschungsprojekt

Isogeometrische finite Elemente für Schalen

Entwicklung lockingfreier finiter Elemente basierend auf NURBS-Ansatzfunktionen zur Analyse von Schalen.

Überblick

  • Integration von Design (CAD) und Berechnung (FEM)
  • Finite-Elemente-Methode mit NURBS-Ansätzen hoher Kontinuität
  • Ausnutzen der höheren Kontinuität für die Entwicklung innovativer Schalenelemente
  • Einfachen Darstellung großer Rotationen bei schubweichen Schalenformulierungen
  • Intrinsische Vermeidung geometrischer Locking-Effekte
"Pinched Cylinder" Benchmark Problem, Berechnung mit isogeometrischen 5-Parameter-Schalenelementen (c)
"Pinched Cylinder" Benchmark Problem, Berechnung mit isogeometrischen 5-Parameter-Schalenelementen

Projektbeschreibung

Die isogeometrische Analyse (IGA) erhielt im vergangenen Jahrzehnt sehr viel Aufmerksamkeit und stellt eine geeignete numerische Methode dar, um eine Vielzahl von strukturmechanischen Problemen zu lösen, die sowohl von akademischem, als auch industriellem Interesse sind. Speziell für finite Schalenelemente entstehen durch glatte Basen mit höherer Kontinuität (z.B. NURBS) einige Vorteile gegenüber konventionellen finiten Elementen. Eine NURBS-Diskretisierung höherer Kontinuität ermöglicht beispielsweise eine punktweise eindeutige Beschreibung des Direktorfelds im gesamten Patch.

Direktorendefinition (c)
Links: IGA – eindeutige Direktordefinition, rechts: FE – mehrdeutige Direktordefinition

Hierarchische, schubweiche Schalenformulierungen

Die höhere Kontinuität isogeometrischer Diskretisierungen führte zu einer regelrechten Renaissance schubstarrer Schalenmodelle, wie z.B. Kirchhoff-Love, da entsprechende Anforderungen an die Glattheit der Ansatzräume (mind. C1 innerhalb eines Patches) leicht zu erfüllen sind. Schubweiche Schalenformulierungen mit Reissner-Mindlin-Kinematik und dreidimensionale Schalenmodelle erlauben hingegen die Verwendung C0-kontinuierlicher Ansätze. Dennoch lässt sich die höhere Kontinuität für die Entwicklung innovativer schubweicher Schalenelemente ausnutzen.

schubweiche Schalenformulierung mit hierarchischen Rotationen (c)
Schalenmittelfläche für kleine und große Rotationen, schubweiche Schalenformulierung mit hierarchischen Rotationen (RM-hr)

Hierarchische Schalenformulierung vom Reissner-Mindlin-Typ werden durch hierarchische Anreicherung des Kirchhoff-Love-Modells entwickelt. Über die hierarchische Reparametrisierung der kinematischen Gleichungen kann Querschublocking im Rahmen einer primalen Methode a priori vermieden werden. Das Konzept wird gleichermaßen für schubweiche Balken-, Platten- und Schalenformulierungen angewendet, wobei jeweils zwei hierarchische Parametrisierungen unterschieden werden. Sowohl die Parametrisierung hierarchischer Rotationen (RM-hr) als auch die Parametrisierung hierarchischer Verschiebungen (RM-hd) resultiert in Formulierungen, die intrinsisch frei von Querschublocking sind.

Einfache Darstellung großer Rotationen für schubweiche Schalenformulierungen

Eine geometrisch nichtlineare Simulationen mit schubweichen Schalenformulierungen erfordert eine spezielle Behandlung und multiplikative Zerlegung großer Rotationen. Durch die elegante Reparametrisierung bei hierarchischen Schalenformulierungen kann auch in diesem Kontext ein innovativer Ansatz entwickelt werden. Die zugrunde liegende Annahme ist, dass die Querschubrotationen für typische Schalenprobleme eher klein sind, wohingegen die Gesamtrotationen beliebig groß sein können. Diese Annahme resultiert in einer additiven Zerlegung der Green-Lagrange-Verzerrungen in vollständig nichtlineare Anteile vom rotationsfreien Kirchhoff-Love-Typ und hierarchisch addierte, linearisierte Querschubanteile. Dadurch sind große Gesamtrotationen additiv zerlegbar und können sehr einfach dargestellt werden.

Ringdurchschlagen mit 5p-Schalenelementen (c)
Durchschlagen eines Rings unter Rotationslastfall, Berechnung mit isogeometrischen 5-Parameter-Schalenelementen

Membran-Locking

Die höheren Kontinuitäten isogeometrischer Ansätze können sich aber auch nachteilig auf die Ergebnisqualität auswirken. Vor allem Membranlocking hat sich als äußerst dominant erwiesen. Bei maximaler Kontinuität verschwinden auftretende Oszillationen in den Membrankräften auch für hohe Polynomordnungen nicht und führen bei primalen isogeometrischen Schalenelementen zu unter Umständen sehr schlechten Ergebnissen.

Klassische Konzepte der FE-Technologie lassen sich bei isogeometrischen finiten Elementen in der Regel nicht direkt übertragen, da die höhere Kontinuität der Ansatzfunktionen elementweise Betrachtungen verbietet. Mit dem Mixed-Displacement(MD)-Konzept wurde eine variationelle Methode entwickelt, mit der sich auf effiziente Art und Weise geometrische Lockingeffekte vermeiden lassen. Die Kombination der hierarchischen Schalenformulierung mit hierarchischen Verschiebungen und dem MD-Konzept zur Vermeidung von Membranlocking resultiert in vollständig lockingfreien schubweichen Schalenformulierungen (RM-hd-MD). Am Beispiel eines durchschlagenden Bogenstücks unter großen Rotationen wird das überlegene Verhalten von RM-hd-MD gegenüber einer primalen Kirchhoff-Love(KL)-Schalenformulierung demonstriert. Unabhängig vom Polynomgrad kann mit RM-hd-MD ein glatter Membrankraftverlauf guter Qualität berechnet werden. Die primalen KL-Elemente erlauben nur einen sehr schlechte Approximation der zu erwartenden Lösung und weisen sehr starke Oszillationen in der Membrankraft auf.

Bogendurchschlagen mit RM-hd-MD-Schalenelementen (c)
Durchschlagen eines Bogenstücks, Konturplot der Membrankraft in Ringrichtung, 10 isogeometrische RM-hd-MD-Schalenelemente vom Polynomgrad p=3

Bogendurchschlagen mit RM-hd-MD-Schalenelementen, variabler Polynomgrad (c)
Zwischenzustand: Konturplot der Membrankraft in Ringrichtung, 10 isogeometrische RM-hd-MD-Schalenelemente vom Polynomgrad p=2/3/4

Bogendurchschlagen mit RM-hd-MD-Schalenelementen, variabler Polynomgrad (c)
Zwischenzustand: Konturplot der Membrankraft in Ringrichtung, 10 isogeometrische KL-Schalenelemente vom Polynomgrad p=2/3/4/8/10/15

Veröffentlichungen

  1. Simon Bieber, Bastian Oesterle, Ekkehard Ramm, Manfred Bischoff. A variational method to avoid locking – independent of the discretization scheme. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 114. 2018. DOI: 10.1002/nme.5766
  2. Bastian Oesterle. Intrinsisch lockingfreie Schalenformulierungen. Doktorarbeit. Bericht Nr. 67, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart. 2018. DOI: 10.18419/opus-10046
  3. Bastian Oesterle, Simon Bieber, Renate Sachse, Ekkehard Ramm and Manfred Bischoff. Intrinsically locking-free formulations for isogeometric beam, plate and shell analysis. Proc. Appl. Math. Mech., 18. 2018. DOI: 10.1002/pamm.201800399
  4. Bastian Oesterle, Renate Sachse, Ekkehard Ramm, Manfred Bischoff. Hierarchic isogeometric large rotation shell elements including linearized transverse shear parametrization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 321. 2017. DOI: 10.1016/j.cma.2017.03.031
  5. Bastian Oesterle, Renate Sachse, Simon Bieber, Ekkehard Ramm, Manfred Bischoff. Isogeometric analysis with hierarchic shell elements – intrinsically free from locking by alternative parametrizations. Proceedings of the IASS Annual Symposium 2017. Annette Bögle, Manfred Grohmann (eds.) "Interfaces: architecture.engineering.science". 25-28th September, 2017, Hamburg, Germany. 2017.
  6. Bastian Oesterle, Ekkehard Ramm, Manfred Bischoff. A shear deformable, rotation-free isogeometric shell formulation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 307. 2016. DOI: 10.1016/j.cma.2016.04.015
  7. Bastian Oesterle, Manfred Bischoff, Ekkehard Ramm. Hierarchic isogeometric analyses of beams and shells. In: M. Kleiber, T. Burczynski, K. Wilde, J. Gorski, K. Winkelmann, L. Smakosz (Eds.) "Advances in Mechanics: Theoretical, Computational and Interdisciplinary Issues". Proceedings of the 3rd Polish Congress of Mechanics (PCM) & 21st International Conference on Computer Methods in Mechanics (CMM), Gdansk, Poland, 8-11 September 2015. 2016.
  8. R. Echter, B. Oesterle, M. Bischoff. A hierarchic family of isogeometric shell finite elements. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 254. 2013. DOI: 10.1016/j.cma.2012.10.018
  9. Ralph Echter. Isogeometric analysis of shells. Doktorarbeit. Bericht Nr. 59, Institut für Baustatik und Baudynamik, Universität Stuttgart,. 2013. DOI: 10.18419/opus-510
  10. Ralph Echter, Manfred Bischoff. Numerical efficiency, locking and unlocking of NURBS finite elements. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 199. 2010. DOI: 10.1016/j.cma.2009.02.035

Bearbeitung:

Dieses Bild zeigt Oesterle
Dr.-Ing.

Bastian Oesterle

Postdoc

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