Henrik Jakob

Abstract

In this thesis an implementation for Isogeometric Analysis (IGA) with trimmed NURBS- and B-spline surfaces is presented. IGA is characterised by the use of the same shape functions, that exactly describe the geometry, to approximate the searched-for variables and not the other way around, as it is common in Finite Element Analysis. Since IGA was first introduced to the public in 2005, there has been hope, that by not requiring a meshing process to obtain a finite element mesh, to realise a more direct integration of design and analysis processes. One of the main problems is that in many computer-aided engineering (CAE) processes, socalled trimming is used to obtain the geometries that are required. This can be, for example, the consideration of boreholes for the attachment of other components or the cutting away of corners in a steel sheet. One possibility to handle trimmed surfaces in IGA is to determine numerical integration schemes that integrate only over the remaining part of each element. In the presented implementation, this is realised by locally approximating the geometry by triangles. In this thesis, the theoretical basics are given to understand the difficulty, that trimmed surfaces pose to IGA, followed by an overview of the implementation details of the code. At last, the implementation is tested against two examples to show the quality of results, that can be expected. For both examples, a satisfactory convergence behaviour could be shown, with special attention also given to differences between element formulations, strategies for the geometry approximation and the continuity of the shape functions.

Abstract

Nach dem Ende der Hochzeiten des Schalenbaus in den 1970er-Jahren gab es nur begrenzt Interesse die besonderen Trageigenschaften der gebauten Schalentragwerke weiter zu untersuchen. Die Ingenieure der damals geschaffenen Bauwerke verließen sich zur Beurteilung der Tragfähigkeit auf Intuition, Handrechenverfahren und physikalische Modelle. In neuer Zeit ist es mit computergestützten Methoden möglichst hinreichend genau das detaillierte Tragverhalten von Schalen zu untersuchen. In der hier vorliegenden Arbeit dies für einen Schalentypen vorgenommen. Anhand eines Modells einer Buckelschale des renommierten Schalenbauers Heinz Islers werden Verformungen und Spannungen mithilfe der Finiten-Elemente-Methode untersucht. Dafür wurde dem Autor eine Geometrie zur Verfügung gestellt, die ein Forscherteam um P. Eigenraam der TU Delft per 3D-Scan aus einem von Islers Modellen erstellen konnte. Die von ihnen darauf angestellte FE-Analyse der Schale war die erste, die an einer Buckelschale durchgeführt wurde. Im Zuge dieser Arbeit werden zunächst die notwendigen Grundlagen der Schalenkinematik und des Lastabtrags aufgearbeitet. Danach wird in Kürze auf die Person Heinz Islers und sein Wirken eingegangen. Der Hauptteil der Arbeit beginnt zunächst mit der Modellierung einer Kugelschale für die in der Literatur analytische Lösungen vorhanden sind, um die gewählte Software zu überprüfen. Für die 3D-Modellierung wird dabei das Programm Rhinoceros und für die FE-Analyse das Programm SOFiSTiK verwendet. Nachdem die Ergebnisse eine gute Vergleichbarkeit mit den Literaturlösungen aufwiesen, konnte die Buckelschale modelliert und untersucht werden. Dabei wurde die Schale mit den Lastfällen Eigengewicht und Schnee belastet. Es konnte gezeigt werden, dass die Schale sich weitestgehend in einem Membranspannungszustand ohne das Auftreten von größeren Biegeeffekten befindet. Nur in den Randbereichen und dem Randträger entstehen Zugkräfte und Biegung. Diese Effekte können mit günstig gewählter Vorspannung minimiert bzw. umgekehrt werden. Anschließend erfolgte ein Vergleich der Ergebnisse mit dem Modell von P. Eigenraam. Auch hier konnte eine gute qualitative Übereinstimmung erzielt werden, was die Sicherheit gibt mit dem Modell und der verwendeten Software weitere Untersuchungen zu dieser Schale oder andern Schalen durchführen zu können.