Hochentwickelte Tetraeder

Gegenstand des Forschungsprojekts ist die Entwicklung variationeller Methoden für die selektive Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen für die explizite dynamische Finite-Elemente-Analyse. Mit diesen Methoden lassen sich dann effizientere und genauere Tetraederelemente für die nichtlineare Dynamik und für Wellenausbreitungsprobleme entwickeln.

Für komplexe Geometrien ist bei der Vernetzung mit finiten Elementen eine Verwendung von dreieckigen Elementen häufig unvermeidbar. Bereits eine sehr stark vereinfachte Geometrie eines Werkzeugsschlüssels wie in Abbildung 1 dargestellt, lässt sich nur mit Tetraeder-Elementen automatische vernetzen. Bestehende Tetraeder-Elemente sind in ihrer Leistungsfähigkeit jedoch durch die folgenden Aspekte eingeschränkt: Versteifung („Locking“), hoher Rechenaufwand, hohe numerische Dispersion und großer Reflektions-Transmissions-Fehler bei heterogenen Materialien. Bisher gibt es kein universelles Tetraederelement, das in allen zuvor benannten Bereichen überzeugt. Am Beispiel des vereinfachten Modells des Werkzeugschlüssels sieht man, dass bei vorgegebener Elementkantenlänge 6x mehr Freiheitsgerade benötigt werden, was zu einem höheren Rechenaufwand führt. Dieser wird durch den um den Faktor 1.7 kleineren kritischen Zeitschritt zusätzlich vergrößert. Trotz des größeren Rechenaufwandes ist die Verschiebungslösung für die Tetraederelemente deutlich zu konservativ aufgrund von künstlichen Versteifungseffekten.

Der Fokus dieses Forschungsprojektes liegt auf der Bekämpfung von Versteifungseffekten und der Reduktion des Rechenaufwandes, da diese Probleme in der nichtlinearen Strukturdynamik besonders in den Vordergrund treten.  Hierzu wird die variationelle Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen erforscht und auf gängige Tetraeder-Elemente übertragen.

Finite Elemente mit Allman-Rotationen bieten eine gute Recheneffizienz für Festkörperprobleme und explizite Codes, die weniger Versteifung als lineare Elemente und geringere Rechenkosten als quadratische finite Elemente aufweisen. Diese Elemente besitzen eine kompatible Interpolation der Verschiebungen nur mit Freiheitsgraden an den Eckpunkten. Unter Verwendung eines quadratischen Standardelements als Basis werden die Knotenverschiebungen in der Mitte von jeder Elementkante durch eine Transformationsmatrix auf Verschiebungen und Rotationen von Eckpunkten beschränkt. Eine signifikante Erhöhung des kritischen Zeitschritts kann durch eine speziell konstruierte reziproke Massenmatrix erreicht werden. Die reziproke Massenmatrix ermöglicht die direkte Berechnung des Beschleunigungsvektors aus dem Gesamtkraftvektor durch Multiplikation mit einer dünn besetzten Matrix. Daher ist jeder Zeitschritt ähnlich teuer wie bei einer Standard-Diagonalmassenmatrix. Zusätzlich kann der Zeitschritt um einen Faktor von 8% auf 100% erhöht werden. Die verwendete Konstruktion kombiniert eine Variationskonstruktion für Verschiebungen an Eckpunkten mit diagonaler Trägheit für Allman-Rotationen.

Die folgende Abbildung zeigt die Analyse eines Kragarms unter einer abrupt aufgebrachten konstanten Last F. Die Anwendung der Trägheitsskalierung auf das vierknotige Tetraederelement mit Allman-Rotationen erlaubt eine Reduktion des Rechenaufwands um 53%. Im Ergebnis für die Auslenkung kann dabei trotzdem kein Unterschied zur Lösung mit konsistenter oder diagonalisierter Masse festgestellt werden.

Elemente mit Allman-Rotationen stellen eine Herausforderung für eine bezahlbare und genaue Schätzung des stabilen Zeitschritts dar. Das Vorhandensein gemischter physikalischer Einheiten für Verschiebungen (in m) und Rotationen (dimensionslos) zerstört die Effizienz des knotenbasierten Zeitschrittschätzers, der auf dem Gershgorin-Kreissatz basiert. Die erweiterte Schätzung kombiniert eine Ähnlichkeitstransformation, um die Nichtübereinstimmung der Einheiten zu korrigieren, und eine genauere Eigenwertschätzung durch den Ostrowski-Kreissatz.

Die folgende Abbildung zeigt den Vergleich des knotenbasierten Zeitschrittschätzers für das NAFEMS-Benchmark FV32. Die vorgeschlagene Schätzung lässt eine kleinere Lücke (14,2 %) zum exakten stabilen Zeitschritt als der Gershgorin-Schätzer (67,0 %) und eine Kombination des Gershgorin-Schätzers mit Ähnlichkeitstransformation (16,4 %).

In Vorarbeiten wurde beobachtet, dass mit den variationell skalierten reziproken Massen zwar sehr gute Ergebnisse für homogene Materialien erzielt werden können, für heterogene Materialien wurden allerdings nur unzufriedenstellende Ergebnisse erreicht. Eine verbesserte Konstruktion der biorthogonalen Ansatzräume der Mehrfeldformulierung hat zu deutlich verbesserten Konvergenzeigenschaften geführt, siehe folgende Abbildung. Die Analyse des Reflektions-Transmissions-Fehlers bestätigt dieses Ergebnis.

Variationelle Trägheitsskalierung und Verzerrungsskalierung lassen sich als Schablonen basierend auf variationell parametrisierten Prinzipien entwickeln. Die Idee von Massen- und Steifigkeitsschablonen wurde im Jahr 1994 von Prof. Carlos Felippa aus der Colorado University in Boulder vorgeschlagen.  Die auf variationell parametrisierten Prinzipien basierenden Schablonen ermöglichen eine allgemeine Konstruktion von parametrisierten gemischten variationellen Prinzipen. Durch die Wahl der freien Parameter und der Ansatzräume der unabhängigen Variablen werden Familien neuer Finiter-Elemente definiert, die verbesserte Eigenschaften aufweisen.

Projekttitel:
Methoden zur selektiven Skalierung von Trägheits- und Verzerrungstermen für die explizite Dynamik mit tetraederförmigen finiten Elementen
Förderung:
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG), Sachbeihilfe - Eigene Stelle TK 63/1-1, GEPRIS-Projektnummer 326748051
Bearbeitung:
Anton Tkachuk

• Radek Kolman
  Institute of Thermomechanics AS CR Prag, Tschechische Republik
• José Ángel González Pérez
  Escuela Técnica Superior de Ingeniería, Universidad de Sevilla, Spanien