Thomas Cichosz

Zusammenfassung

Formulation of isogeometric finite elements has received a great deal of attention in the recent past. The present study deals with the treatment of problems in structural mechanics including large elastic deformations and contact. One decisive difference between isogeometric finite elements, based on NURBS functions and standard finite elements (FE), based on Lagrange polynomials, is higher inter-element continuity. This is a promising characteristics to model contact problems, as all issues associated with kinks between elements are naturally avoided. Particularly in cases with large sliding this has the potential to be an attractive feature. We present a bilateral isogeometric collocation contact formulation for geometrically non-linear two-dimensional problems, using Greville and Botella points to collocate the contact integrals. Different methods to obtain accurate and physically meaningful stress distributions are investigated and compared. The results show that the higher inter-element continuity, in context of non-smooth problems, may imply undesired effects in the numerical solution such as unphysical stress oscillations. Similar effects have been observed in standard p-FEM. Numerical experiments indicate that these oscillations may be avoided if the basis functions of contact and non-contact zones are separated by knot relocation and knot repetition.

Zusammenfassung

Computational modelling of contact problems raises two basic questions: Which method should be used to enforce the contact conditions and how should this method be discretised? The most popular enforcement methods are the Lagrange multiplier method, the penalty method and combinations of these two. A frequently used discretisation method is the so called node-to-segment approach. However, this approach might lead to problems like jumps in contact forces, loss of convergence or failure to pass the patch test. Thus in the last few years, several segment-to-segment contact algorithms based on the mortar method were proposed. Combination of a mortar discretisation with a penalty based enforcement of the contact conditions leads to unphysical penetrations. On the other hand, a Lagrange multiplier mortar method requires additional unknowns. Hence, condensation of the Lagrange multipliers is desirable to preserve the initial size of the system of equations. This can be achieved by interpolating the Lagrange multipliers with so-called dual shape functions. Discretising two contacting bodies leads to opposed contact surface representations of finite element edges, called slave and master elements, respectively. In current versions of dual Lagrange multiplier mortar formulations an inconsistency at the boundary appears when only a part of a slave element (instead of the entire element) belongs to the contact area. We present a modified definition of the dual shape functions in such slave elements. The basic idea is to construct dual shape functions that fulfill the so-called biorthogonality condition within the contact area. This leads to consistent mortar matrices also in the boundary region. To avoid ill-conditioning of the stiffness matrix, the modified mortar matrices are weighted with appropriate weighting factors. In doing so, the corresponding modified Lagrange multiplier nodal values are of the same order as the unmodified ones. Various examples demonstrate the performance of the modified mortar contact algorithm.

Zusammenfassung

In many areas of mechanical engineering contact problems of thin-walled structures play a crucial role. Car crash tests and incremental sheet metal forming can be named as examples. But also in civil engineering, for instance when determining the moment-rotation characteristics of a bolted beam-column joint, contact occurs. Effective simulation of these and other contact problems, especially in three-dimensional non-linear implicit structural mechanic is still a challenging task. Modelling of those problems needs a robust method, which takes the thin-walled character and dynamic effects into account. We use a segment-to-segment approach for discretization of the contact and introduce Lagrange Multipliers, which physically represent the contact pressure. The geometric impenetrability condition is formulated in a weak, integral sense. Choosing dual shape functions for the interpolation of the Lagrange Multipliers, we obtain decoupled nodal constraint conditions. Combining this with an active set strategy, an elimination of the Lagrange multipliers is easily possible, so that the size of the resulting system of equations remains constant. Discretization in time is done with the implicit Generalized--$\alpha$ Method and the Generalized Energy-Momentum Method. Using the ”Velocity-Update” Method, the total energy is conserved for frictionless contact. Various examples show the performance of the presented strategies.

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit verschiedenen Aspekten der Diskretisierung von Kontaktvorgängen in Raum und Zeit. Im Hinblick auf eine stabile und konsistente Modellierung werden bestehende Verfahren verglichen und Verbesserungen erarbeitet. Schwerpunkt der räumlichen Untersuchungen ist die Weiterentwicklung der in Hartmann u. a. (2007) und Hartmann und Ramm (2008) vorgestellten Kontaktdiskretisierung, die auf der dualen Mortar-Methode (Wohlmuth 2000, 2001) basiert. Durch die Verwendung der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren erfüllt diese Formulierung die Nichtdurchdringungsbedingung exakt. Gleichzeitig erlaubt die Diskretisierung der Multiplikatoren mit dualen Formfunktionen die einfache Kondensation der zusätzlichen Unbekannten aus dem resultierenden Gleichungssystem. Somit wird der übliche Nachteil der Methode der Lagrange’schen Multiplikatoren vermieden. Mit der herkömmlichen Definition der dualen Formfunktionen können am Rand des Kontaktbereichs inkonsistente Mortar-Matrizen entstehen. Als Folge dessen resultieren unphysikalische Werte für die Knotenklaffung und fehlerhaft übertragene Kontaktkräfte. Zur Korrektur dieses Verhaltens wird in dieser Arbeit eine modifizierte Definition der Mortar-Matrizen vorgeschlagen. Damit die Modifikation nicht die Konditionierung des resultierenden Gleichungssystems verschlechtert, wird zusätzlich eine Wichtungsprozedur für die modifizierten Mortar-Matrizen vorgestellt. Als Ergebnis ist in allen Fällen eine konsistente Übertragung der Kontaktkraft und eine konsistente Berechnung der Normalklaffung möglich, ohne dabei die Konditionierung zu beeinträchtigen. Die Betrachtungen zur zeitlichen Diskretisierung analysieren zunächst den Einfluss von Kontaktereignissen auf die Eigenschaften der dynamischen Strukturantwort. Beruhend auf den gewonnenen Erkenntnissen wird anschließend eine möglichst optimale zeitliche Kontaktdiskretisierung formuliert. Diese ist mit einer Strategie nach Kane u. a. (1999) energetisch stabil. Durch die Erweiterung einer Idee von Deuflhard u. a. (2008) auf Probleme mit großen Deformationen werden Oszillationen in der Kontaktkraft vermieden. Die Modifikation der Geschwindigkeit in einer Nachlaufrechnung stellt physikalisch sinnvolle Kontaktgeschwindigkeiten sicher. Darüber hinaus wird der Kontakt energieerhaltend modelliert, ohne die Nichtdurchdringungsbedingung zu verletzen. Hierzu kommt das Energie-Korrekturkraft-Verfahren zum Einsatz, das eine im Rahmen der vorliegenden Arbeit formulierte Weiterentwicklung des Konzepts von Armero und Petocz (1998) darstellt. Außer mit dem präsentierten Verfahren ist eine energieerhaltende Kontaktbehandlung bei gleichzeitiger exakter Erfüllung der Nichtdurchdringungsbedingung nur mit der „Velocity-Update-Method“ (Laursen und Love 2002) möglich. Im Gegensatz zu dieser gibt das Energie-Korrekturkraft-Verfahren die dissipierte Energie jedoch nicht ausschließlich in kinetischer Form zurück. Stattdessen bestimmt die Systemantwort, wie die Energie-Korrekturkraft die Gesamtenergie vergrößert. Anhand von numerischen Experimenten werden abschließend die untersuchten Verfahren bewertet. Zusätzlich wird die Leistungsfähigkeit der entwickelten Methoden demonstriert.