Anika Strauß

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird der Entwurf von mehrdimensionalen Bewegungen für adaptive Strukturen betrachtet. Adaptive Strukturen können sich beispielsweise durch Geometrieänderungen an verschiedene Umgebungsbedingungen anpassen. An die Bewegung der Struktur werden dabei bestimmte Anforderungen gestellt, um eine hohe Effizienz erreichen zu können. Hier wird eine Methode zur Minimierung der inneren Energie während der Bewegung betrachtet. Der Bewegungsentwurf kann hierbei als Variationsproblem formuliert werden. Durch Anwendung der Finite-Elemente-Methode wird das kontinuierliche Problem in ein diskretes Problem überführt. Da es sich hier um nichtlineares Strukturverhalten handelt, kann das Problem durch Linearisierung und Verwendung eines iterativen Verfahrens gelöst werden. Mithilfe dieser Methode werden anhand von Beispielen unterschiedliche Bewegungsmechanismen für eine Gebietsdiskretisierung mit Scheiben- oder Volumenelementen untersucht. Da bei zwei- und dreidimensionalen Kontinuumselementen Locking auftreten kann, wird für den mehrdimensionalen Bewegungsentwurf die Enhanced Assumed Strain Methode zur Vermeidung von Locking formuliert.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden verschiedene Methoden zur numerischen Ableitung einer Funktion untersucht und anhand von Funktionsbeispielen miteinander verglichen. Die klassischen Finite- Differenzen Methoden haben den Nachteil, dass der Fehler zur exakten Lösung bei gegen null strebender Schrittweite nicht verschwindet sondern aufgrund von Rundungsfehlern wieder zunimmt. Es existieren neuere Methoden die diesen Nachteil nicht haben. Zur Berechnung der ersten Ableitung eignet sich die complex-step derivative approximation. Hyper-duale Zahlen wurden entwickelt, um die gleiche Genauigkeit für zweite Ableitungen zu erreichen. Mit der Methode der hyper-dualen Zahlen werden erste und zweite Ableitung sogar exakt berechnet. Das heißt es treten keine Approximationsfehler oder Rundungsfehler auf. Diese drei Methoden werden in ein FEM-Programm implementiert, um sie auf Probleme der nichtlinearen Strukturmechanik anwenden zu können. Ein Beispiel hierfür ist die Berechnung kritischer Punkte mit der Methode der erweiterten Systeme. Dabei muss numerisch die erste Ableitung der Steifigkeitsmatrix bestimmt werden. Validiert werden die Methoden anhand eines Benchmark-Problems. Die Ergebnisse zeigen, dass die complex-step derivative approximation und die Methode der hyper-dualen Zahlen genauere Ergebnisse liefern als die Finite- Differenzen Methode. Allerdings ist dies mit einem höheren Rechenaufwand verbunden.